1. 表达式:
\( \underset{2\mathrm{a}/\mathrm{s}}{\underbrace{a \times a}} = {a}^{2}\;\underset{3{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{s}}{\underbrace{a \times a \times a}} = {a}^{3}\;\underset{4{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{s}}{\underbrace{a \times a \times a \times a}} = {a}^{4} \)
\( \underset{n\text{ times }}{\underbrace{a \times a \times a \times a\ldots a}} = {a}^{n} \)
\( a \) 是一个整数、小数或分数，称为底数(base)。 \( n \) 是任意计数数，称为指数(exponent)。
2. 指数的性质:
性质 1: \( {a}^{0} = 1 \)
注意: \( {\left( 0\right) }^{0} \) 未定义，且 \( {\left( 0\right) }^{0} \neq 1 \) 。
性质 2: \( {a}^{1} = a \)
性质 3: \( {a}^{m} \times {a}^{n} = {a}^{m + n} \Leftrightarrow {a}^{m + n} = {a}^{m} \times {a}^{n} \) (幂法则)
注意: \( {a}^{m} + {a}^{n} \neq {a}^{m + n} \)
性质 4: \( \frac{{a}^{m}}{{a}^{n}} = {a}^{m - n} \) (商法则)
性质 5: \( {\left( {a}^{m}\right) }^{n} = {a}^{mn} \)
性质 6: \( \frac{{a}^{m}}{{b}^{m}} = {\left( \frac{a}{b}\right) }^{m}\; \Leftrightarrow \;{\left( \frac{a}{b}\right) }^{m} = \frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}\; \) (幂法则)
性质 7: \( {a}^{-n} = \frac{1}{{a}^{n}} \) (负指数)
性质 8: \( {a}^{\frac{m}{n}} = {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{m} \) (有理指数)
3. 解指数方程
(1) \( {a}^{m} = {a}^{n} \) 当且仅当 \( m = n \) ，其中 \( a, b, m \) 和 \( n \) 为常数。
(2) \( {a}^{m} = {b}^{n} \) 当且仅当 \( a = b \) 且 \( m = n \) 。
(3). \( {\left( a{x}^{2} + bx + c\right) }^{d{x}^{2} + {ex} + f} = 1 \) .
情况1:求解 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 1 \) (忽略 \( d{x}^{2} + {ex} + f \) )。
情况2:求解 \( d{x}^{2} + {ex} + f = 0 \) 并考虑 \( a{x}^{2} + {bx} + c \neq 0 \) 。
情况3: \( a{x}^{2} + {bx} + c = - 1 \) 且 \( d{x}^{2} + {ex} + f \) 为偶数。
(4). \( f{\left( x\right) }^{G\left( x\right) } = f{\left( x\right) }^{F\left( x\right) } \)
情况1:求解 \( f\left( x\right) = 1 \) 。
情况2:求解 \( G\left( x\right) = F\left( x\right) \) 并考虑 \( f\left( x\right) \neq 0 \) 。
情况3:求解 \( f\left( x\right) = - 1 \) 且 \( G\left( x\right) - F\left( x\right) \) 为偶数。
4. 比较指数
定理1. 若 \( a > b > 0 \) 且 \( c \) 为正实数，则 \( {a}^{c} > {b}^{c} \) 且 \( {a}^{-c} < {b}^{-c} \) 。
定理2. 若 \( a > 1 \) 且 \( c > 0 \) ，则 \( {a}^{c} > 1 \) ；若 \( 0 < a < 1 \) 且 \( c > 0 \) ，则 \( 0 < {a}^{c} < 1 \) 。
定理3. 若 \( a > 1 \) 且 \( c > d \) ，则 \( {a}^{c} > {a}^{d} \) ；若 \( 0 < a < 1 \) 且 \( c > d \) ，则 \( {a}^{c} < {a}^{d} \) 。
5. 示例
化简指数
例1.(2002 AMC 10B)下列哪一项与比值 \( \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2003}}{{6}^{2002}}? \) 相同？
(A) \( \frac{1}{6} \) (B) \( \frac{1}{3} \) (C) \( \frac{1}{2} \) (D) \( \frac{2}{3} \) (E) \( \frac{3}{2} \)
解答:(E)。
方法1(官方解答):
我们有
\[ \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2003}}{{6}^{2002}} = \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2003}}{(2 \cdot 3{)}^{2002}} = \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2003}}{{2}^{2002} \cdot {3}^{2002}} = \frac{3}{2}. \]
方法2(我们的解法):
\[ \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2003}}{{6}^{2002}} = \frac{{2}^{2001} \cdot {3}^{2001} \cdot {3}^{2}}{{6}^{2002}} = \frac{{\left( 2 \cdot 3\right) }^{2001} \cdot {3}^{2}}{{6}^{2002}} = \frac{{\left( 6\right) }^{2001} \cdot {3}^{2}}{{6}^{2002}} = \frac{{3}^{2}}{6} = = \frac{3}{2} \]
例2. \( {4}^{30} \times {25}^{25} \) 的十进制位数为
(A) 28 (B) 54 (C) 56 (D) 58 (E) 36
解答:(B)。
我们有 \( {4}^{30} \times {25}^{25} = {\left( {2}^{2}\right) }^{30} \times {\left( {5}^{2}\right) }^{25} = {2}^{60} \times {5}^{50} = \left( {{2}^{50} \times {5}^{50}}\right) \times {2}^{10} = {1024} \times {10}^{50} \) 。
它由1024后面跟50个0组成，共54位。
例3.(2002 AMC 10B)数 \( {25}^{64} \cdot {64}^{25} \) 是某个正整数 \( N \) 的平方。 \( N \) 的十进制表示的数字之和是多少？
(A) 7 (B) 14 (C) 21 (D) 28 (E) 35
解答:(B)。
方法1(官方解法):
我们有 \( N = \sqrt{{\left( {5}^{2}\right) }^{64} \cdot {\left( {2}^{6}\right) }^{25}} = {5}^{64} \cdot {2}^{3 \cdot {25}} = {\left( 5 \cdot 2\right) }^{64} \cdot {2}^{11} = {10}^{64} \cdot {2048} \)
\[ = {2048}\underset{{64}\text{ digits }}{\underbrace{{000}\cdots 0}} \]
零不贡献和，因此 \( N \) 的数字之和为 \( 2 + 4 + 8 = \) 14。
方法2(我们的解法):
我们有 \( {25}^{64} \times {64}^{25} = {\left( {5}^{2}\right) }^{64} \times {\left( {2}^{6}\right) }^{25} = {\left( {5}^{64}\right) }^{2} \times {\left( {2}^{{25} \times 3}\right) }^{2} = {\left( {5}^{64} \times {2}^{75}\right) }^{2} \) 。
\( N = {5}^{64} \times {2}^{75} = {5}^{64} \times {2}^{64} \times {2}^{11} = {\left( 5 \times 2\right) }^{64} \times {2}^{11} = {2}^{11} \times {10}^{64} = {2048} \times {10}^{64}. \)
零不贡献和，因此 \( N \) 的数字之和为 \( 2 + 4 + 8 = \) 14。
例4. 若 \( a = 2{b}^{2}, b = 4{c}^{3} \) ，且 \( c = 8{d}^{4} \) ，则下列哪一项必然
成立？
(A) \( a = {2}^{23}{d}^{36} \) (B) \( a = {2}^{23}{d}^{24} \) (C) \( a = {2}^{11}{d}^{36} \) (D) \( a = {2}^{11}{d}^{24} \) (E) \( a = {2}^{11}{d}^{12} \)
解答:(B)。
\[ a = 2{b}^{2} = 2{\left( 4{c}^{3}\right) }^{2} = {2}^{5}{c}^{6} = {2}^{5}{\left( 8{d}^{4}\right) }^{6} = {2}^{5}{\left( {2}^{3}{d}^{4}\right) }^{6} = {2}^{5}\left( {{2}^{18}{d}^{24}}\right) = {2}^{23}{d}^{24}. \]
例5. 设 \( f\left( x\right) = {2}^{x} \) 。当 \( x \) 取何精确值时， \( f\left( {x - 2}\right) = f\left( x\right) - {12} \) ？
(A) \( 8/3 \) (B) 1.415 (C) 2 (D) 4 (E) 3
解答:(D)。
\( {2}^{x - 2} = {2}^{x} - {12} \) 。设 \( y = {2}^{x - 2} \cdot y = {4y} - {12}\; \Rightarrow \;y = 4 \) 。
\( y = {2}^{x - 2} = 4.x - 2 = 2\; \Rightarrow \;x = 4. \)
例6. 若 \( {2}^{a} + {2}^{b} + {2}^{c} = {42} \) ，其中 \( a \neq b \neq c \) 和 \( a, b, c \) 为正整数，求 \( 1/a + 1/b + 1/c \) 。
A. \( {23}/{15} \) B. \( 8/5 \) C. 47/60 D. \( {42}/{23} \) E. \( {19}/{15} \)
解答:(A)。
\( {42} = {32} + 8 + 2 = {2}^{5} + {2}^{3} + {2}^{1} \Rightarrow 1/5 + 1/3 + 1/1 = {23}/{15} \) .
例7. \( X \) 和 \( Y \) 为两个集合， \( X \) 比 \( Y \) 多2个元素，且子集数比 \( Y \) 多96个，求 \( X \) 的元素个数？
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11
解答:(C)。
设 \( X \) 和 \( Y \) 的元素个数分别为 \( m \) 和 \( n \) 。已知含 \( m \) 个元素的集合的子集数为 \( {2}^{m} \) ，于是有 \( m - n = 2 \) 和 \( {2}^{m} - \) \( {2}^{n} = {96} \) 。令 \( m = n + 2 \) ，则 \( {2}^{m} - {2}^{n} = {2}^{n + 2} - {2}^{n} = {2}^{n}\left( {{2}^{2} - 1}\right) = {96} \Rightarrow {2}^{n} \cdot 3 = {96} \) \( \Rightarrow {2}^{n} = {32} \Rightarrow n = 5 \Rightarrow m = 7 \) 。
例8. (2009 UNC-Charlotte Algebra II，2006 AMC 10 A) 非零实数 \( x \) 取何值时， \( {\left( 7x\right) }^{14} = {\left( {14}x\right) }^{7} \) 成立？ (A) \( 1/7 \) (B) \( 2/7 \) (C) 1 (D) 7 (E) 14 解答:(B)。 方法一(官方解答):两边取七次方根得 \( {\left( 7x\right) }^{2} = {14x} \) 。于是 \( {49}{x}^{2} = {14x} \) ，又因 \( x \neq 0 \) ，故 \( {49x} = {14} \) 。因此 \( x = 2/7 \) 。 方法二:
\[ \begin{matrix} {\left( 7x\right) }^{14} = {\left( {14}x\right) }^{7} & \Rightarrow & {7}^{14}{x}^{14} = {14}^{7}{x}^{7} & \Rightarrow & {7}^{14}{x}^{14} = {2}^{7} \times {7}^{7}x \\ \Rightarrow & {7}^{{14} - 7}{x}^{{14} - 7} = {2}^{7} & \Rightarrow & {7}^{7}{x}^{7} = {2}^{7} & \Rightarrow \end{matrix} \]
\( {x}^{7} = \frac{{2}^{7}}{{7}^{7}} = {\left( \frac{2}{7}\right) }^{7} \Rightarrow \;x = \frac{2}{7}. \) 例9. 若 \( {10}^{2y} = {25} \) ，求 \( {10}^{-y} \) ，(A) \( - 1/5 \) (B) \( 1/{625} \) (C) \( 1/{50} \) (D) \( 1/{25} \) (E) \( 1/5 \) 。解:(E)。 \( {10}^{2y} = {25}\; \Rightarrow \;{\left( {10}^{y}\right) }^{2} = {5}^{2}\; \Rightarrow \;{10}^{y} = 5\; \Rightarrow \;{\left( {10}^{y}\right) }^{-1} = {\left( 5\right) }^{-1} \) \( \Rightarrow \;{10}^{-y} = 1/5 \) 。
解方程
例10. 解方程。 \( {27}^{{2t} - 1} = {81}^{t + 2} \) (A) 3(B) -3 (C) \( - 1/2 \) 。(D) -2(E) \( {11}/2 \) .
解:(E)。
\( {27}^{{2t} - 1} = {81}^{t + 2} \Rightarrow \;{\left( 3\right) }^{3\left( {{2t} - 1}\right) } = {\left( 3\right) }^{4\left( {t + 2}\right) } \Rightarrow \;3\left( {{2t} - 1}\right) = 4\left( {t + 2}\right) \Rightarrow \)
\( {6t} - 3 = {4t} + 8 \Rightarrow \;{2t} = {11} \Rightarrow \;t = {11}/2. \)
例11. (2003 10 B) 下列哪个 \( x \) 的值满足
方程 \( {25}^{-2} = \frac{{5}^{{48}/x}}{{5}^{{26}/x} \cdot {25}^{{17}/x}} \) ？
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 9
解:(B)。
方法1(官方解法):
将所有项写成以5为底的幂，则
\[ {5}^{-4} = {25}^{-2} = \frac{{5}^{{48}/x}}{{5}^{{26}/x} \cdot {25}^{{17}/x}} = \frac{{5}^{{48}/x}}{{5}^{{26}/x} \cdot {5}^{{34}/x}} = {5}^{\left( {{48} - {26} - {34}}\right) /x} = {5}^{-{12}/x}. \]
可得 \( - \frac{12}{x} = - 4 \) ，因此 \( x = 3 \) 。
方法2(我们的解法):
将所有项写成以25为底的幂，则
\[ {25}^{-2} = \frac{{25}^{{24}/x}}{{25}^{{13}/x} \cdot {25}^{{17}/x}} \Rightarrow \;{25}^{-2} = {25}^{\frac{{24} \cdot {13} \cdot {17}}{x - x}}\; \Rightarrow \;{25}^{-2} = {25}^{\frac{{24} - {13} - {17}}{x}} \]
\[ \Rightarrow \;{25}^{-2} = {25}^{-\frac{6}{x}} \]
可得 \( - \frac{6}{x} = - 2 \) ，因此 \( x = 3 \) 。
例12. 若 \( {4}^{x} - {4}^{x - 1} = {24} \) ，求 \( {\left( 2x\right) }^{x} \) 。
(A) \( 5\sqrt{5} \) (B) \( \sqrt{5} \) (C) \( {25}\sqrt{5} \) (D) 125 (E) 25
解答:C。
\[ {4}^{x} - {4}^{x - 1} = {24} \Rightarrow \;{4}^{x} - \frac{{4}^{x}}{4} = {24} \Rightarrow \;\frac{4 \times {4}^{x}}{4} - \frac{{4}^{x}}{4} = {24}\; \Rightarrow \]
\( \frac{3 \times {4}^{x}}{4} = {24}\;\Rightarrow \;3 \times {4}^{x} = {24} \times 4\;\Rightarrow \;{4}^{x} = 8 \times 4\;\Rightarrow \)
\[ {2}^{2x} = {2}^{5}\text{.} \]
解得 \( x = 5/2 \) 。
于是 \( {2x} = 5\;{\left( 2x\right) }^{x} = {\left( 5\right) }^{\frac{5}{2}} = {25}\sqrt{5} \) 。
例13. 求方程 \( \left( {5}^{{6x} + 3}\right) \left( {25}^{{3x} + 6}\right) \) \( = {125}^{{4x} + 5} \) 的实数解个数。
(A) 0 (B) 恰有1个 (C) 恰有2个 (D) 恰有3个 (E) 无穷多个 解答:(E)。 \( \left( {5}^{{6x} + 3}\right) \left( {25}^{{3x} + 6}\right) = {125}^{{4x} + 5}\; \Rightarrow \;\left( {5}^{{6x} + 3}\right) \left( {5}^{2\left( {{3x} + 6}\right) }\right) = {5}^{3\left( {{4x} + 5}\right) }\; \Rightarrow \;{5}^{{6x} + 3} \) \( {}^{+2\left( {{3x} + 6}\right) } = {5}^{{12x} + {15}}\; \Rightarrow \;{6x} + 3 + 2\left( {{3x} + 6}\right) = {12x} + {15}. \) 化简得 \( {12x} + {15} = {12x} + {15} \) ，无论 \( x \) 取何值恒成立，故答案为(E)。
例14. 若 \( x \neq 0 \) 且 \( \frac{{x}^{k}}{{x}^{\left( 3\left( k + 2\right) \right) }} = {x}^{2} \) ，求 \( k \) 的值。
(A) 3 (B) -2 (C) -4 (D) -2 (E) 6。
解答:(C)。
\[ \frac{{x}^{k}}{{x}^{\left( 3\left( k + 2\right) \right) }} = {x}^{2} \Rightarrow \;{x}^{k - {3k} - 6} = {x}^{2} \Rightarrow \;k - {3k} - 6 = 2 \Rightarrow \;k = - 4. \]
例15. 在 \( \frac{{b}^{2y}\sqrt{{a}^{3}}}{{a}^{4x}{b}^{1/3}} = {a}^{7/{10}}{b}^{1/{15}} \) 中求 \( x \) 。
(A) \( 2/5 \) (B) \( 1/{10} \) (C) \( 1/5 \) (D) \( 4/5 \) E. \( 1/2 \)
解答:(C)。
\[ \frac{{b}^{2y}\sqrt{{a}^{3}}}{{a}^{4x}{b}^{1/3}} = {a}^{7/{10}}{b}^{1/{15}}\; \Rightarrow \;\frac{{b}^{2y}{a}^{\frac{3}{2} - {4x}}}{{b}^{1/3}} = {a}^{7/{10}}{b}^{1/{15}} \]
由于只需找出 \( x \) ，我们关注含 \( x \) 的项，于是可得
\[ {a}^{\frac{3}{2} - {4x}} = {a}^{7/{10}} \Rightarrow \frac{3}{2} - {4x} = \frac{7}{10}\; \Rightarrow \;{4x} = \frac{3}{2} - \frac{7}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \Rightarrow \;x = \frac{1}{5}. \]
例16. 若 \( \frac{9 + {3}^{2x}}{10} = {3}^{x} \) ，则 \( {x}^{2} + x + 1 \) 的值为
(A) 0或2 (B) 仅0 (C) 1或7 (D) 仅7 (E) 仅1
解答:C。
\[ \frac{9 + {3}^{2x}}{10} = {3}^{x} \Rightarrow {3}^{2} + {3}^{2x} = {10} \cdot {3}^{x} \Rightarrow {3}^{2x} - {10} \cdot {3}^{x} + 9 = 0 \Rightarrow \]
\( \left( {{3}^{x} - 9}\right) \left( {{3}^{x} - 1}\right) = 0 \Rightarrow {3}^{x} - 9 = 0 \) 或 \( {3}^{x} - 1 = 0 \Rightarrow {3}^{x} = 9 \) 或 \( {3}^{x} = 1 \Rightarrow x = 2 \) 或 \( x = 0 \)
若 \( x = 2,{x}^{2} + x + 1 = 7 \) 且 \( x = 0,{x}^{2} + x + 1 = 1 \) ，则有两个解，1 或 7。
例 17. 求 \( y = {2}^{x + 2} \) 与 \( y = {4}^{{3x} - 4} \) 的交点。
A.(0,4) B.(0.5,32) C.(1,8) D.(2,16)E.(3,32)
解:D。
\( {6x} - 8 \)
\( \Rightarrow \;x = 2, y = {16} \) .
例 18. 解方程 \( {64}^{x} + {16} = {8}^{x + 1} \) 。
(A) 仅 \( x = \frac{1}{3} \) (B) \( x = \frac{1}{3} \) 或 \( \frac{1}{2} \) (C) \( x = \frac{1}{3} \) 或 \( \frac{2}{3} \) (D) 仅 \( x = 2 \) (E) 仅 \( \frac{2}{3} \) 。
解:(E)。
\( {64}^{x} + {16} = {8}^{x + 1} \Rightarrow {\left( {8}^{x}\right) }^{2} + {16} = {8}^{x} \cdot 8 \Leftrightarrow {w}^{2} - {8w} + {16} = 0 \) ，其中 \( w = {8}^{x} \) ，故
\( {\left( w - 4\right) }^{2} = 0 \Rightarrow w = 4\therefore {8}^{x} = {2}^{3x} = {2}^{2} \) ,
\( 2 = {3x} \Rightarrow \;x = \frac{2}{3}. \)
例 19. (2007 NC Algebra II,1985 AMC) 有多少个整数 \( x \) 满足方程 \( {\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2} = 1 \) ？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 以上皆非。
解:(C)。
情况 \( 1 : {x}^{2} - x - 1 = 1 \) 。
若 \( {x}^{2} - x - 1 = 1 \) ，则 \( {x}^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \;x = 2 \) 或 \( x = - 1 \) 。
情况 2: \( x + 2 = 0 \) 且 \( {x}^{2} - x - 1 \neq 0 \) 。
当 \( x = - 2,{\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2} = 1 \neq 0 \) 。因此 \( x = - 2 \) 是一个解。
情况3: \( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \) 与 \( x + 2 \) 为偶数。
\( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \Rightarrow {x}^{2} - x = 0 \Rightarrow x = 0 \) 或 \( x = 1 \) 。若 \( x = 0 \) ，则 \( x + 2 \) 为偶数；若 \( x \) \( = 1 \) ，则 \( x + 2 \) 为奇数且 \( {\left( -1\right) }^{3} \neq 1 \) 。因此情况3给出一个解: \( x = 0 \) 。
故解为 \( x = 2, x = - 1 \) (来自情况1)、 \( x = - 2 \) (来自情况2)及 \( x \) \( = 0 \) (来自情况3)。
例20. 满足方程 \( {\left( {x}^{2} - 5x + 5\right) }^{{x}^{2} - {9x} + {20}} = 1 \) 的不同实数值 \( x \) 的个数为
(B) 2 (C) 3 (D) 5(E) 6
解答:(D)。
\( {\left( {x}^{2} - 5x + 5\right) }^{{x}^{2} - {9x} + {20}} = 1 \Rightarrow {x}^{2} - {5x} + 5 = 1 \) 或 \( {x}^{2} - {9x} + {20} = 0 \) 。解第一个得
\( {x}^{2} - {5x} + 5 = 1 \Leftrightarrow {x}^{2} - {5x} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4}\right) \left( {x - 1}\right) = 0 \) ，故 \( x = 4 \) 或1；解第二个得 \( {x}^{2} - {9x} + {20} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4}\right) \left( {x - 5}\right) = 0 \) ，故 \( x = 4 \) 或5。
官方解答遗漏了另一种情况:
当 \( {x}^{2} - {5x} + 5 = - 1 \) 且 \( {x}^{2} - {9x} + {20} \) 为偶数时。
\( {x}^{2} - {5x} + 5 = - 1\; \Rightarrow \;{x}^{2} - {5x} + 6 = 0 \Rightarrow \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) = 0 \)
\( \Rightarrow x = 2 \) 或 \( x = 3 \) 。经检验两者均为解，故共有五个解。
例21. 求方程 \( \left| {\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2}\right| = 1 \) 的整数解个数。
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
解答:(D)。
方法一:
给定方程等价于以下方程:
\[ {\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2} = 1 \tag{1} \]
\( {\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2} = - 1 \) (2)
对于方程(1)，
情况1: \( {x}^{2} - x - 1 = 1 \Rightarrow \;{x}^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \;\left( {x - 2}\right) \left( {x + 1}\right) = 0 \) 。
因此 \( {x}_{1} = - 1 \) 且 \( {x}_{2} = 2 \) 。
情况2: \( x + 2 = 0 \) 且 \( {x}^{2} - x - 1 \neq 0 \Rightarrow \;{x}_{3} = - 2 \) 。
情况3: \( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \) 且 \( x + 2 \Rightarrow {x}_{4} = 0 \) 为偶数。
对于方程(2)，
\( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \) 且 \( x + 2 \Rightarrow \;{x}_{5} = 1 \) 为奇数。
因此整数解的个数为5，答案为(D)。
方法二:
所给方程等价于以下方程:
\[ {\left\lbrack \left| {\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{x + 2}\right| \right\rbrack }^{2} = {1}^{2} \Rightarrow \;{\left( {x}^{2} - x - 1\right) }^{{2x} + 4} = 1 \tag{1} \]
情况1: \( {x}^{2} - x - 1 = 1 \Rightarrow \;{x}^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \;\left( {x - 2}\right) \left( {x + 1}\right) = 0 \) 。
因此 \( {x}_{1} = - 1 \) 且 \( {x}_{2} = 2 \) 。
情况2: \( {2x} + 4 = 0 \) 且 \( {x}^{2} - x - 1 \neq 0\; \Rightarrow \;{x}_{3} = - 2 \) 。
情况3: \( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \) 且 \( {2x} + 4 \) 为偶数。
由于 \( {2x} + 4 \) 恒为偶数，我们只需解 \( {x}^{2} - x - 1 = - 1 \Rightarrow {x}^{2} - x = 0 \)
\( \Rightarrow \;x\left( {x - 1}\right) = 0 \Rightarrow \;{x}_{4} = 0 \) 且 \( {x}_{5} = 1 \) 。
因此整数解的个数为5，答案为(D)。
例22. 求方程的整数解个数
\[ {\left( {x}^{2} - 2x - 2\right) }^{{x}^{2} + {57}} = {\left( {x}^{2} - 2x - 2\right) }^{{16x} - 6}. \]
(A) 2(D) 5(E) 6
解:(C)
方程的形式为 \( f{\left( x\right) }^{G\left( x\right) } = f{\left( x\right) }^{F\left( x\right) } \)
情况1:解 \( f\left( x\right) = 1 \) 。
\( {x}^{2} - {2x} - 2 = 1\; \Rightarrow \;{x}^{2} - {2x} - 3 = 0 \Rightarrow \;\left( {x + 1}\right) \left( {x - 3}\right) = 0. \)
于是 \( x = - 1 \) 且 \( x = 3 \) 。
情况2:在 \( G\left( x\right) = F\left( x\right) \) 的条件下解 \( f\left( x\right) \neq 0 \) 。
\[ {x}^{2} - {2x} - 2 \neq 0\text{and} \]
\[ {x}^{2} + {57} = {16x} - 6\; \Rightarrow \;{x}^{2} - {16x} + {63} = 0 \Rightarrow \;\left( {x - 7}\right) \left( {x - 9}\right) = 0 \]
\[ \text{So}x = 7\text{and}x = 9\text{.} \]
情况3: \( f\left( x\right) = - 1 \) 且 \( G\left( x\right) - F\left( x\right) \) 为偶数。
\( {x}^{2} - {2x} - 2 = - 1 \) 且 \( {x}^{2} + {57} - \left( {{16x} - 6}\right) = {x}^{2} - {16x} + {63} = \left( {x - 7}\right) \left( {x - 9}\right) \) 为偶数。
情况3无整数解。
因此整数解的个数为4，答案为(C)。
例23. 方程有多少个实数解？
\[ {\left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right) }^{x} + {\left( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right) }^{x} = 6\text{?} \]
(D) 3(E) 6
解:(C)。
设 \( {\left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right) }^{x} = y \) 。
则 \( {\left( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right) }^{x} = \frac{1}{y} \) 。
原方程可写为 \( y + \frac{1}{y} = 6 \) 。
重新整理各项可得 \( {y}^{2} - {6y} + 1 = 0 \) 。
解出 \( y \) ，我们得到 \( y = 3 \pm 2\sqrt{2} \) 。
当 \( {\left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right) }^{x} = 3 + 2\sqrt{2}, x = 2 \) 。
当 \( {\left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right) }^{x} = 3 - 2\sqrt{2}, x = - 2 \) 。
我们可以将数值代回原方程验证，若等式成立，则二者确为解。
比较指数
例24.(1984 AMC 12)满足 \( {n}^{200} < {5}^{300} \) 的最大整数 \( n \) 是
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12
解:(D)。
方法一(官方解法):
取一百次方根， \( {n}^{200} < {5}^{300} \)
\( \Leftrightarrow {n}^{2} < {5}^{3} = {125} \)
小于125的最大完全平方数是 \( {121} = {11}^{2} \) 。
方法二(我们的解法):
\( \frac{{n}^{200}}{{5}^{200}} < {5}^{100}\; \Rightarrow \;{\left( \frac{{n}^{2}}{{5}^{2}}\right) }^{100} < {5}^{100} \Rightarrow \;\frac{{n}^{2}}{{5}^{2}} < 5\; \Rightarrow \)
\[ {n}^{2} < {5}^{3} = {125} \Rightarrow \;{n}^{2} \leq {11}^{2} \]
当 \( {n}^{2} = {11}^{2} \) 或 \( n = {11} \) 时， \( n \) 取得最大值。
例25.(2003 AMC 10B)设 \( {3}^{8} \cdot {5}^{2} = {a}^{b} \) ，其中 \( a \) 和 \( b \) 均为正整数，求 \( a + b \) 的最小可能值。
(A) 25 (B) 34 (C) 351 (D) 407 (E) 900
解答:(D)。
方法1(官方解答):
由于 \( a \) 必须能被5整除，且 \( {3}^{8} \cdot {5}^{2} \) 能被 \( {5}^{2} \) 整除，但不能被 \( {5}^{3} \) 整除，
我们得到 \( b \leq 2 \) 。若 \( b = 1 \) ，则 \( {ab} = {\left( {3}^{8}{5}^{2}\right) }^{1} = {\left( {164},{025}\right) }^{1} \) 且 \( a + b = {164},{026} \) 。
若 \( b = 2 \) ，则 \( {ab} = {\left( {3}^{4}5\right) }^{2} = {405}^{2} \) ，于是 \( a + b = {407} \) ，这是最小值。
方法2(我们的解答):
由于我们希望 \( a + b, a \) 取尽可能小的值，且尽可能接近。 \( {\left( {3}^{4} \cdot 5\right) }^{2} = {a}^{b} \) 是表示 \( {3}^{8} \cdot {5}^{2} = {a}^{b} \cdot {\left( {405}\right) }^{2} = {a}^{b} \) 的理想方式。因此 \( a = {405} \) 且 \( b = 2 \) 。总和为 \( {405} + 2 = {407} \) 。
例26. 有多少个正整数 \( n \) 满足以下条件: \( {8}^{100} < {n}^{200} < {\left( {120}n\right) }^{100}? \)
(A) 120 (B) 127 (C) 122 (D) 119 (E) 117
解答:(E)。
该不等式可写成 \( {2}^{300} < {n}^{200} < {\left( {120}n\right) }^{100} \) 。条件等价于 \( 8 < {n}^{2} < {120n} \) ，因此 \( {n}^{2} < {120n} \) 且 \( {n}^{2} > 8 \) 。
这意味着 \( 2\sqrt{2} < n < {120} \) 。于是 \( n \) 可以是介于119与3之间的117个整数中的任意一个。
例27. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {7}^{92} \) (B) \( {8}^{91} \) (C) \( {49}^{45} \) (D) \( {4}^{136} \) (E) \( {6}^{92} \)
解答:
\( {49}^{45} = {7}^{2 \times {45}} = {7}^{90} < {7}^{92}. \)
\( {4}^{136} = {\left( {2}^{2}\right) }^{136} = {2}^{272} < {2}^{273} = {8}^{91} \)
\[ {6}^{92} < {7}^{92}\text{.} \]
因此我们可以排除(C)、(D)和(E)。
\( {8}^{91} \cdot \left\lbrack {{8}^{6} = {262144}}\right. \) 和 \( {7}^{6} = {117649} \cdot {8}^{6}/{7}^{6} > 2 \) 和 \( {\left( 8/7\right) }^{18} > 8 \cdot {8}^{91}/{7}^{92} = \)
\( \left( {{8}^{91}/{7}^{91}}\right) \cdot \left( {1/7}\right) = {\left( 8/7\right) }^{73} \cdot {\left( 8/7\right) }^{18} \cdot \left( {1/7}\right) > 1) \) 。因此 \( {8}^{91} > {7}^{92} \) 。
例28 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {16}^{18} \) (B) \( {18}^{16} \) (C) \( {2}^{71} \) (D) \( {2}^{15} \cdot {3}^{32} \) (E) \( {3}^{36} \)
解答:(A)。
\( {2}^{71} < {2}^{72} = {16}^{18} \) .
\( {2}^{15} \cdot {3}^{32} < {2}^{16} \cdot {9}^{16} = {18}^{16} \)
\[ {3}^{36} < {4}^{36} = {16}^{18}\text{.} \]
因此我们可以排除(C)、(D)和(E)。
根据幂法则，我们有 \( \frac{{16}^{18}}{{18}^{16}} = {\left( \frac{16}{18}\right) }^{16} \cdot {16}^{2} = {\left( \frac{8}{9}\right) }^{16} \cdot {\left( \sqrt{2}\right) }^{16} = {\left( \frac{8\sqrt{2}}{9}\right) }^{16} \) 。
我们知道 \( 8\sqrt{2} \approx 8 \times {1.414} = {11.312} > 9 \) 。因此 \( {\left( \frac{8\sqrt{2}}{9}\right) }^{16} > 1 \) 。于是 \( {16}^{18} > {18}^{16} \) 。
习题
习题1 下列哪一项与比值 \( \frac{{3}^{2015} \cdot {5}^{2017}}{{15}^{2016}} \) 相同？
(A) \( 2/7 \) (B) \( 5/4 \) (C) 5/ (D) \( 5/8 \) (E) \( 5/3 \)
习题2 当 \( {8}^{16}{125}^{13} \) 以通常的十进制形式写出时，其位数为
(A) 28 (B) 42 (C) 46 (D) 48 (E) 44
习题3 数 \( {225}^{65} \cdot {128}^{36} \) 是一个正整数 \( N \) 的平方。 \( N \) 的十进制表示的各位数字之和是多少？
(A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 36
习题4 设 \( a, b, c \geq 2 \) 为自然数且 \( {a}^{\left( {b}^{c}\right) } = {\left( {a}^{b}\right) }^{c} \) ，则 \( a \) 、 \( b, c \) 中哪一个(或哪些)可以取任意值？
(A) \( a \) (B) \( b \) (C) \( c \) (D) \( a \) 和 \( b \) 两者 (E) 全部三个
问题5. 若 \( f\left( x\right) = {x}^{x} \) ，则 \( f\left( {a + b}\right) \) 为多少？
(A) \( {\left( a + b\right) }^{a}{\left( a + b\right) }^{b} \) (B) \( {a}^{a} + {b}^{b} \) (C) \( {a}^{a} + b \) (D) \( {\left( a + b\right) }^{x} \) (E) \( {a}^{a} \times {b}^{b} \)
问题6. 若 \( {3}^{x} = 5 \) ，求 \( {3}^{{2x} + 3} \) 。
(A) 37. (B) 75. (C) 270. (D) 325. (E) 675.
问题7. 设 \( g\left( x\right) = \frac{{a}^{x} - {a}^{-x}}{{a}^{x} + {a}^{-x}} \) ，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \) 。若 \( g\left( p\right) = \frac{1}{3} \) ，则 \( g\left( {4p}\right) \) 等于
(A) \( \frac{15}{17} \) (B) \( \frac{7}{8} \) (C) \( \frac{13}{15} \) (D) \( \frac{6}{7} \) (E) \( \frac{11}{13} \)
问题8. 数 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( {2}^{x} = {15} \) 和 \( {15}^{y} = {32} \) 。 \( {xy} \) 的值是多少？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 既非 \( \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} \) 也非 \( \mathrm{D} \)
问题9. 下列哪一项与 \( \frac{{x}^{5}{y}^{2}{z}^{8}}{{\left( xy\right) }^{-3}} \) 等价？
(A) \( \frac{{x}^{2}{z}^{8}}{y} \) (B) \( {x}^{12}{y}^{8}{z}^{8} \) (C) \( \frac{{x}^{-4}y{z}^{8}}{3} \) (D) \( {x}^{8}{y}^{5}{z}^{8} \) (E) \( {x}^{-2}y{z}^{8} \)
问题10. 解: \( \frac{1}{25} = {125}^{{3x} - 4} \)
(A) \( \frac{2}{9} \) (B) \( \frac{14}{9} \) (C) \( \frac{2}{3} \) (D) \( \frac{10}{9} \) (E) \( \frac{9}{10} \)
问题11. 下列哪个 \( x \) 的值满足方程
\( {8}^{-4} = \frac{{4}^{{50}/x}}{{4}^{{32}/x} \cdot {8}^{{24}/x}}? \)
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 9
问题12. 解 \( {9}^{x} - 7 \times {3}^{x} = {18} \) 。
(A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) -2 (E) 6。
问题13。方程 \( {3}^{2x} - {10} \times {3}^{x} + 9 = 0 \) 的两个解之差的绝对值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 以上都不是
问题14。满足方程的 \( x \) 的一个值
\( {4}^{\left( {x}^{2} - 3x\right) } = {8}^{\frac{1}{2}} \cdot {2}^{\frac{3}{2}} \) 可以表示为最简分数 \( \frac{k + \sqrt{w}}{f} \) ，其中 \( k, w \) ，
且 \( f \) 为正整数。求 \( \left( {k + w + f}\right) \) 的值。
(A) 30 (B) 20 (C) 40 (D) 50 (E) 60。
问题15。方程 \( {8}^{6{x}^{2} + {4x}} = {4}^{9{x}^{2} - {9x} + 6} \) 的所有解之和为:
(A) 1 (B) \( 2/7 \) (C) 0 (D) \( 2/5 \) (E) \( 6/{15} \) 。
问题16。解 \( x : {9}^{x + 1} + {9}^{x + 2} + {9}^{x + 3} + {9}^{x + 4} + {9}^{x + 5} = {22143} \)
(A) \( - 1/2 \) (B) \( 1/2 \) (C) \( - 1/3 \) (D) \( 1/3 \) (E) 1
问题17。下列哪个答案是 \( y = {2}^{x} \) 与 \( y = 2{\left( x + 1\right) }^{2}? \) 交点的 \( x \) 坐标
(A) \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) (B) 6.28 (C) 7 (D) \( \ln 7 \) E. 曲线不相交。
问题18。若 \( {2}^{x} \cdot {4}^{x} \cdot {8}^{x} = \sqrt{2} \) ，则 \( x \) 为多少？
(A) \( 1/4 \) (B) \( 1/6 \) (C) \( 1/8 \) (D) \( 1/{10} \) (E) \( 1/{12} \)
问题19。求方程 \( {\left( {x}^{2} - 4x + 2\right) }^{{x}^{2} - 1} = 1 \) 的实数解个数。
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
问题20. 设 \( a, b < 1 \) 。若 \( {a}^{x} = {b}^{y} \) 且 \( {a}^{y} = {b}^{x} \) ，则
(A) \( a = b \) (B) \( a > b \) (C) \( a < b \) (D) \( a \neq b \) (E) 以上都不是
问题21. 若 \( x = {2}^{100}, y = {3}^{75} \) 且 \( z = {5}^{50} \) ，请将 \( x, y \) 和 \( z \) 按从大到小排序。
(A) \( x > y > z \) (B) \( x > z > y \) (C) \( y > x > z \) (D) \( y > z > x \) (E) \( z > x > y \) 。
问题22. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {31}^{11} \) (B) \( {17}^{14} \) (C) \( {30}^{11} \) (D) \( {16}^{14} \) (E) \( {31}^{10} \)
问题23. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {2}^{300} \) (B) \( {3}^{200} \) (C) \( {9}^{99} \) (D) \( {16}^{74} \) (E) \( {7}^{100} \)
问题24. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {5}^{44} \) (B) \( {4}^{53} \) (C) \( {25}^{21} \) (D) \( {2}^{104} \) (E) \( {125}^{14} \)
问题25. 哪个数更大: \( {100}^{100} \) 还是 \( {50}^{50} \times {150}^{50} \) ？
问题26. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {2}^{40} \) (B) \( {3}^{28} \) (C) \( {9}^{13} \) (D) \( {4}^{19} \) (E) \( {27}^{9} \)
问题27. 在下列各数中，哪一个是最大的？
(A) \( {3}^{303} \) (B) \( {2}^{454} \) (C) \( {9}^{151} \) (D) \( {4}^{226} \) (E) \( {6}^{151} \)
问题28. 该方程有多少个实数解？
\( {\left( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\right) }^{x} + {\left( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\right) }^{x} = 4? \)
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 6
解答
问题1. 解答:(E)。
我们有
\[ \frac{{3}^{2015} \cdot {5}^{2017}}{{15}^{2016}} = \frac{{3}^{2015} \cdot {5}^{2015} \cdot {5}^{2}}{{15}^{2016}} = \frac{{\left( 3 \cdot 5\right) }^{2015} \cdot {5}^{2}}{{15}^{2016}} = \frac{{\left( {15}\right) }^{2015} \cdot {5}^{2}}{{15}^{2016}} = \frac{{5}^{2}}{15} = \frac{5}{3} \]
问题2. 解答:(B)。
我们有 \( {8}^{16} \times {125}^{13} = {\left( {2}^{3}\right) }^{16} \times {\left( {5}^{3}\right) }^{13} = {2}^{48} \times {5}^{39} = \left( {{2}^{39} \times {5}^{39}}\right) \times {2}^{9} = {512} \times {10}^{39} \) 。
它由512后面跟39个0组成，共42位数字。
问题3. 解答:(B)。
我们有 \( {225}^{65} \times {128}^{36} = {\left( {5}^{4}\right) }^{65} \times {\left( {2}^{7}\right) }^{36} = {\left( {5}^{130}\right) }^{2} \times {\left( {2}^{126}\right) }^{2} = {\left( {5}^{130} \times {2}^{126}\right) }^{2} \) 。
\( N = {5}^{130} \times {2}^{126} = {5}^{126} \times {2}^{126} \times {5}^{4} = {\left( 5 \times 2\right) }^{126} \times {5}^{4} = {225} \times {10}^{126}. \)
这些0不影响求和，因此 \( N \) 的各位数字之和为 \( 2 + 2 + 5 = \) 9。
问题4. 解答:(A)。
给定方程等价于 \( {b}^{c} = {bc} \) ，其中 \( a \) 任意。
于是 \( {b}^{c - 1} = c \) 。对于自然数 \( b, c \geq 2 \) ，一个解是 \( b = c = 2 \) ，但 \( a \geq 2 \) 是
任意的。
问题5. 解答:(A)。
\( f\left( x\right) = {x}^{x}\; \Rightarrow \;f\left( {a + b}\right) = {\left( a + b\right) }^{\left( a + b\right) } = {\left( a + b\right) }^{a}{\left( a + b\right) }^{b}. \)
问题6. 解答:(E.)
\( {3}^{x} = 5 \Rightarrow \;{3}^{2x} = {5}^{2} = {25} \) ，所以 \( {3}^{{2x} + 3} = {3}^{2x} \times {3}^{3} = {25} \times {27} = {675} \) 。
问题7. 解答:(A)。
\[ g\left( x\right) = \frac{{a}^{x} - {a}^{-x}}{{a}^{x} + {a}^{-x}} = \frac{{a}^{x} - \frac{1}{{a}^{x}}}{{a}^{x} + \frac{1}{{a}^{x}}} = \frac{{a}^{2x} - 1}{{a}^{2x} + 1}. \]
\[ g\left( p\right) = \frac{{a}^{2p} - 1}{{a}^{2p} + 1} = \frac{1}{3}\; \Rightarrow \;3\left( {{a}^{2p} - 1}\right) = {a}^{2p} + 1\; \Rightarrow \;2{a}^{2p} = 4 \Rightarrow \;{a}^{2p} = 2 \]
\[ \Rightarrow \;{\left( {a}^{2p}\right) }^{4} = {2}^{4} \Rightarrow \;{a}^{8p} = {16}. \]
\[ \text{Thus}g\left( {4p}\right) = \frac{{a}^{8p} - 1}{{a}^{8p} + 1} = \frac{{16} - 1}{{16} + 1} = \frac{15}{17}\text{.} \]
问题8. 解答:(C)。
注意 \( {\left( {2}^{x}\right) }^{y} = {15}^{y} = {32} \) ，所以 \( {2}^{xy} = {2}^{5} \) 且 \( {xy} = 5 \) 。
问题9. 解答:(D)。
\[ \frac{{x}^{5}{y}^{2}{z}^{8}}{{\left( xy\right) }^{-3}} = \frac{{x}^{5}{y}^{2}{z}^{8}}{{x}^{-3}{y}^{-3}} = {x}^{5 + 3}{y}^{2 + 3}{z}^{8} = {x}^{8}{y}^{5}{z}^{8}. \]
问题10. 解答:(D)。
\( {5}^{-2} = {5}^{3\left( {{3x} - 4}\right) }\; \Rightarrow \; - 2 = {9x} - {12}\; \Rightarrow \;x = {10}/9. \)
问题11. 解答:(B)。
将所有项写成以8为底的共同底数。于是
\[ {2}^{-{12}} = \frac{{2}^{{100}/x}}{{2}^{{64}/x} \cdot {2}^{{72}/x}}\; \Rightarrow \;{2}^{-{12}} = {2}^{\frac{100}{x}\frac{64}{x}\frac{72}{x}}\; \Rightarrow \;{2}^{-{12}} = {2}^{\frac{{100} - {64} - {72}}{x}} \]
\[ \Rightarrow \;{2}^{-{12}} = {2}^{-\frac{36}{x}} \]
由此可得 \( - \frac{36}{x} = - {12} \) ，所以 \( x = 3 \) 。
问题12. 解答:(A)。
\( {9}^{x} - 7 \times {3}^{x} = {18} \Rightarrow \;{3}^{2x} - 7 \times {3}^{x} = {18} \) (1)
设 \( y = {3}^{x} \) 。
(1)变为: \( {y}^{2} - {7y} - {18} = 0 \)
\( y = 9 \) 或 \( y = - 3 \) (舍去)
即 \( {3}^{x} = 9\; \Rightarrow \;x = 2 \) 。
问题13. 解答:B。
\[ \text{Let}y = {3}^{x}\text{.} \]
\[ {3}^{2x} - {10} \times {3}^{x} + 9 = 0 \Rightarrow \;{y}^{2} - {10y} + 9 = 0\; \Rightarrow \;\left( {y - 1}\right) \left( {y - 9}\right) = 0. \]
\[ \text{So}y = 1\text{or}y = 9\text{.} \]
\[ \text{Then}{3}^{x} = 1 \Rightarrow x = 0\text{.} \]
\[ {3}^{x} = 9 \Rightarrow \;x = 2\text{.} \]
问题14。解答:(B)。
\[ {4}^{\left( {x}^{2} - 3x\right) } = {8}^{\frac{1}{2}} \cdot {2}^{\frac{3}{2}}\; \Rightarrow \;{2}^{2\left( {{x}^{2} - {3x}}\right) } = {2}^{\frac{3}{2}} \cdot {2}^{\frac{3}{2}}\; \Rightarrow \;{2}^{2\left( {{x}^{2} - {3x}}\right) } = {2}^{3}. \]
于是我们得到 \( 2\left( {{x}^{2} - {3x}}\right) = 3\; \Rightarrow \;2{x}^{2} - {6x} - 3 = 0 \)
\[ {x}_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{{6}^{2} - 4 \times 2 \times \left( {-3}\right) }}{2 \times 2} = \frac{6 \pm \sqrt{{36} + {24}}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}. \]
\[ k + w + f = 3 + {15} + 2 = {20}. \]
问题15。解答:(D)。
\[ {8}^{6{x}^{2} + {4x}} = {4}^{9{x}^{2} - {9x} + 6}\; \Rightarrow \;{2}^{3\left( {6{x}^{2} + {4x}}\right) } = {2}^{2\left( {9{x}^{2} - {9x} + 6}\right) } \]
现在底数相同，我们知道指数也必须相同，因此 \( 3\left( {6{x}^{2} + {4x}}\right) = 2\left( {9{x}^{2} - {9x} + 6}\right) \) 。这简化为 \( {30x} = {12}\; \Rightarrow \;x = 2/5 \) 。
问题16。解答:(A)。
\( {9}^{x + 1} + {9}^{x + 2} + {9}^{x + 3} + {9}^{x + 4} + {9}^{x + 5} = {22143} \Rightarrow {9}^{x}\left( {9 + {9}^{2} + {9}^{3} + {9}^{4} + {9}^{5}}\right) = \)
22143
\( \Rightarrow \;{9}^{x}\left( {66429}\right) = {22143} \Rightarrow \;{9}^{x} = 1/3\; \Rightarrow \;{\left( 3\right) }^{2x} = {3}^{-1}\; \Rightarrow \)
\[ {2x} = - 1\; \Rightarrow \;x = - 1/2. \]
问题17。解答:(C)。
假设它们相交。我们有 \( {2}^{x} = 2{\left( x + 1\right) }^{2} \Rightarrow \;{2}^{x + 1} = {2}^{2}{\left( x + 1\right) }^{2} \) (1)
令 \( x + 1 = m \) 。(1)变为 \( {2}^{m} = {2}^{2}{m}^{2} \) (2)
我们看到当 \( m = 8 : {2}^{8} = {2}^{2} \times {8}^{2} = {2}^{2} \times {2}^{6} = {2}^{8} \) 时，(2)成立。
于是 \( x = 7 \) 。
问题18。解答:(E)。
\( {2}^{x} \cdot {4}^{x} \cdot {8}^{x} = \sqrt{2}\; \Rightarrow \;{2}^{x} \cdot {2}^{2x} \cdot {2}^{3x} = \sqrt{2}\; \Rightarrow \;{2}^{x + {2x} + {3x}} = {2}^{\frac{1}{2}}. \)
于是我们有 \( x + {2x} + {3x} = 1/2\; \Rightarrow \;{6x} = 1/2\; \Rightarrow \;x = 1/{12} \) 。
问题19。解答:(D)。
情况1: \( {x}^{2} - {4x} + 2 = 1 \)
情况2: \( {x}^{2} - 1 = 0 \) 且 \( {x}^{2} - {4x} + 2 \neq 0 \)
情况3: \( {x}^{2} - {4x} + 2 = - 1 \) 且 \( {x}^{2} - 1 \) 为偶数。
对于情况1，我们有 \( {x}^{2} - {4x} + 1 = 0 \Rightarrow \)
\[ {x}_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{{4}^{2} - 4 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. \]
对于情况2，我们有 \( {x}^{2} = 1 \Rightarrow {x}_{3,4} = \pm 1 \) 。我们验证 \( {x}^{2} - {4x} + 2 \neq 0 \) 。
对于情况3，我们有 \( {x}^{2} - {4x} + 3 = 0 \Rightarrow \;\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) = 0.x = 1 \) 或 \( x = 3 \) 。我们验证 \( {x}^{2} - 1 \) 为偶数。因此，共有5个解 \( \left( {{x}_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3},{x}_{3,4} = \pm 1\text{, and or}{x}_{5} = 3}\right) \) 。问题20。答案:(A)。 \( {a}^{x} = {b}^{y} \) (1) \( {a}^{y} = {b}^{x} \) (2)(1) \( \times \left( 2\right) : {a}^{x + y} = {b}^{y + x} \) 于是我们有 \( a = b \) 。问题21。答案:(D)。
\[ X = {\left( {2}^{100}\right) }^{\frac{1}{25}} = {2}^{4} = {16}. \]
\[ Y = {\left( {3}^{75}\right) }^{\frac{1}{25}} = {3}^{3} = {27} \]
\[ Z = {\left( {5}^{50}\right) }^{\frac{1}{25}} = {5}^{2} = {25}. \]
由于 \( Y > Z > X \) ，我们得出 \( y > z > x \) 。问题22。答案:(B)。我们先排除(C)、(D)和(E)。
\[ {31}^{11} < {32}^{11} = {\left( {2}^{5}\right) }^{11} = {2}^{55} \]
\[ {17}^{14} > {16}^{14} = {\left( {2}^{4}\right) }^{14} = {2}^{56} \]
因此 \( {17}^{14} > {2}^{56} > {2}^{55} > {32}^{11} > {31}^{11} \) 。
问题23。答案:(B)。
\[ {9}^{99} = {3}^{2 \times {99}} < {3}^{200}\text{.} \]
\[ {16}^{74} = {2}^{4 \times {74}} = {2}^{296} < {2}^{300} \]
\[ {7}^{100} < {8}^{100} = {2}^{300} \]
因此我们可以排除(C)、(D)和(E)。
根据幂法则 \( {\left( {a}^{m}\right) }^{n} = {a}^{mn} \) ，
\[ {2}^{300} = {\left( {2}^{3}\right) }^{100} = {8}^{100} \]
\[ {3}^{200} = {\left( {3}^{2}\right) }^{100} = {9}^{100} \]
显然 \( {8}^{100} < {9}^{100} \) ，即 \( {2}^{300} \) 小于 \( {3}^{200} \) 。
问题24。答案:(B)。
\( {25}^{21} = {5}^{2 \times {21}} = {5}^{42} < {5}^{44}. \)
\( {2}^{104} = {\left( {2}^{2}\right) }^{52} = {4}^{52} < {4}^{53} \)
\( {125}^{14} = {\left( {5}^{3}\right) }^{14} = {5}^{42} < {5}^{44} \)
因此我们可以排除(C)、(D)和(E)。
根据幂法则 \( {\left( {a}^{m}\right) }^{n} = {a}^{mn} \) ，
\( {4}^{53} = {2}^{106} > {2}^{105} = {\left( {2}^{7}\right) }^{15} \) .
\( {5}^{44} < {5}^{45} = {\left( {5}^{3}\right) }^{15} \) .
由于 \( {2}^{7} = {128} > {5}^{3} = {125} \)
\( {4}^{53} \) 大于 \( {5}^{44} \) 。
问题25。答案: \( {100}^{100} \) 。
\( {100}^{100} = {\left( {100}^{2}\right) }^{50} = {10000}^{50} \) 且 \( {50}^{50} \times {150}^{50} = {\left( {50} \times {150}\right) }^{50} = {\left( {7500}\right) }^{50} \) 因为 \( {10000} > {7500},{100}^{100} \) 大于 \( {50}^{50} \times {150}^{50} \) 。
问题26。解答:(B)。
\[ {9}^{13} = {3}^{2 \times {13}} = {3}^{26} < {3}^{28}. \]
\[ {4}^{19} = {2}^{2 \times {19}} = {2}^{38} < {2}^{40} \]
\[ {27}^{9} = {\left( {3}^{3}\right) }^{9} = {3}^{27} < {3}^{28} \]
因此可以排除(C)、(D)和(E)。
根据幂法则 \( {\left( {a}^{m}\right) }^{n} = {a}^{mn} \) ，
\[ {2}^{40} = {\left( {2}^{10}\right) }^{4}\text{ and }{3}^{28} = {\left( {3}^{7}\right) }^{4}. \]
\[ {2}^{10} = {1024}\text{ and }{3}^{7} = {2187} \]
因为 \( {2187} > {1024},{2}^{40} \) 小于 \( {3}^{28} \) 。
问题27。解答:(A)。
\[ {9}^{151} = {3}^{302} < {3}^{303}\text{.} \]
\[ {4}^{226} = {2}^{452} < {2}^{454} \]
\[ {6}^{151} = {2}^{151} \cdot {3}^{151} < {3}^{151} \cdot {3}^{151} = {3}^{302} < {3}^{303}. \]
因此可以排除(C)、(D)和(E)。
根据幂法则，我们有
\[ \frac{{3}^{303}}{{2}^{454}} = {\left( \frac{3}{2}\right) }^{303} \cdot \frac{1}{{2}^{151}} = {\left( \frac{3}{2}\right) }^{303} \cdot {\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) }^{302} > {\left( \frac{3}{2}\right) }^{303} \cdot {\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) }^{303} = {\left( \frac{3}{2\sqrt{2}}\right) }^{303}. \]
我们知道 \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times {1.414} = {2.828} < 3 \)
\[ \text{So}\frac{{3}^{303}}{{2}^{454}} > 1\text{. Thus}{3}^{303} > {2}^{454}\text{.} \]
问题28。解答:(C)。
\[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{{2}^{2} - 2\sqrt{3} + {\left( \sqrt{3}\right) }^{2}} = \sqrt{{\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{2}} = 2 - \sqrt{3} \]
\[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{{2}^{2} + 2\sqrt{3} + {\left( \sqrt{3}\right) }^{2}} = \sqrt{{\left( 2 + \sqrt{3}\right) }^{2}} = 2 + \sqrt{3} \]
所给方程可改写为:
\[ {\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{x} + {\left( 2 + \sqrt{3}\right) }^{x} = 4 \]
设 \( {\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{x} = y \) 。则 \( {\left( 2 + \sqrt{3}\right) }^{x} = \frac{1}{y} \)
原方程可写为 \( y + \frac{1}{y} = 4 \) 。
整理各项得 \( {y}^{2} - {4y} + 1 = 0 \) 。
解 \( y \) ，我们得到 \( y = 2 \pm \sqrt{3} \) 。
当 \( {\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{x} = 2 - \sqrt{3}, x = 1 \) 。
当 \( {\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{x} = 2 + \sqrt{3}, x = - 1 \) 时。
我们可以将这些值代回原方程，验证等式成立，从而确认它们确实都是解。